向高手请教牛顿--莱布尼茨公式的推导过程

1. 向高手请教牛顿--莱布尼茨公式的推导过程

第一、若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数f(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f(b)-f(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
第二、对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
φ(x)=
x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
φ(x)=
x∫a*f(t)dt
第三、研究这个函数φ(x)的性质：
1、定义函数φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则φ
’(x)=f(x)。
证明：让函数φ(x)获得增量δx，则对应的函数增量
δφ=φ(x+δx)-φ(x)=x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而δφ=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?δx(ξ在x与x+δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当δx趋向于0也就是δφ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
δx→0
δφ/δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f（b）-f（a），f（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得φ’(x)=f(x)，故φ(x）+c=f（x）
但φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以f（a）=c
于是有φ(x）+f（a）=f（x），当x=b时，φ(b)=f（b)-f(a),
而φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=f（b)-f(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

2. 牛顿莱布尼兹公式

e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+
∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

3. 牛顿莱布尼兹公式

4. 牛顿-莱布尼茨公式的公式推导

 定义一个变上限积分函数 ，让函数 获得增量 ，则对应的函数增量根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ，所以 ，因为 ，所以 ，即所以即　　证毕。  因为函数 在在区间 上可积，任取区间 的分割在区间  上任取一点 ，则有其次，对于分割 ，有 在区间  上对函数 应用拉格朗日中值定理得 ，其中 因此有  证毕。

5. 牛顿莱布尼兹公式

函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且
　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
　　这即为牛顿—莱布尼茨公式.
　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
　　我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx
　　现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
　　但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
　　接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
　　1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
　　证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
　　ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
　　显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
　　而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
　　也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
　　当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
　　可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
　　2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
　　证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
　　但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
　　于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
　　而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
　　把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

6. 牛顿布莱尼茨公式是什么 推导过程有哪些

 牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。那么，牛顿布莱尼茨公式是什么呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！
     
   牛顿布莱尼茨公式   牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：
   若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且
   从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)
   其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.
   牛顿布莱尼茨公式证明过程   证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,
   则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)
   当Δx很小时,
   F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx
   F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx
   ……
   F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx
   所以,
   F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx
   当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)
   牛顿布莱尼茨公式意义   牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
   牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
   牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

7. 什么是牛顿莱布尼兹公式？

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。
一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有

莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。
拓展资料：
微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。
牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

8. 用牛顿-莱布尼兹公式怎么算

即把被积函数当成函数导数，求其原函数。此题中3-x^2-2x的原函数为3x-（x^3）/3-x^2，积分线还是-3到1，就把x=1带入的值减去把x=-3带入的值就是答案。牛顿—莱布尼兹公式就是求被积函数的原函数，若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)。