随机过程的基本概念
2024-05-18 19:02
1. 随机过程的基本概念
在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程，不能用随机变量或随机矢量来描述，而需要用一族无限多个随机变量来描绘，这就是随机过程。
图1.14
随机变量是指在同一条件下，事件每次发生的结果是随机的、不确定的，而随机过程是指在同样条件下，事物发生的某一过程是随机的、不可准确预知的。一个过程可能是由无限多个随机变量构成，而随机过程是由一族过程（随机出现的）构成的。如对某一个钻孔的水位进行连续观测，以 H0（t）来表示水位，在第一个水文年观测到的水位曲线为 H1（t），…，在第 n 个水文年里观测到的水位为Hn（t），每个水文年里所得到的样本曲线都是随机的（图 1.14）。{H（t），t∈（0，∞）}，怎样理解为由一族随机变量构成的呢?我们固定某一观测时间 t0，考察 H（t）在每年 t0时刻的水位值 H1（t0），H2（t0），…，Hn（t0），显然H（t0）是一个随机变量，而当 t 变化时，H（t）是一族随机变量。因此，H（t）是一个随机过程。
同样的道理，一个地区大气降水的过程，某条河流的流量或河水位变化过程都可看成是一个随机过程。由此可见，设{X（t），t∈T}为一随机过程，一次过程的观测可以视为随机过程的一个样本函数 X1（t），第 i 次过程的观测可视为随机过程的第i 个样本函数Xi（t）。n次试验观测的结果可得样本函数X1（t），X2（t），…，Xn（t）。对于随机过程 X（t），当 t 固定时，为一个随机变量，即随机过程在 t 时刻的状态。随机变量 X（t），t∈T（t 固定）的所有可能取的值构成一个实数集，称为随机过程的状态空间或值域，而每一个可能取的值称为一个状态。
随机过程可根据参数集T和状态空间的情况进行分类，一般地随机过程可分为下列四类：
（1）离散参数、离散状态随机过程。
（2）离散参数、连续状态随机过程。
（3）连续参数、离散状态随机过程。
（4）连续参数、连续状态随机过程。
1.3.1 有限维分布族
随机过程{X（t），t∈T}在每一时刻 t 的状态是一维随机变量，在任意两个时刻的状态是二维随机变量。随机过程的统计特征可用其不同固定时刻的不同维随机变量（矢量）的分布的全体来表示。
对任意固定的t∈T，
地下水系统随机模拟与管理
称为随机过程X（t）在t时刻的一维分布函数。
对于任意两个固定的t1，t2∈T
地下水系统随机模拟与管理
称为随机过程X（t）的二维分布函数。
一般地，对于任意固定的t1，t2，…，tn∈T，
地下水系统随机模拟与管理
称为随机过程X（t）的n维分布函数。
随机过程X（t）的一维分布函数，二维分布函数，…，n维分布函数的全体称为随机过程的有限维分布函数族。
1.3.2 随机过程的数字特征
随机过程的数字特征是通过随机过程的有限维分布函数的数字特征来刻画，由于随机过程{X（t），t∈T}在每一个 t∈T 的状态是一个随机变量，有其对应的数字特征。随 t 的不同取值，随机变量的数字特征是可以不同的，它的数学期望和方差是依赖于参数 t 的函数，我们称这一函数为随机过程的数字特征。设随机过程 X（t）t∈T 的数学期望用mX（t）表示，则有：
地下水系统随机模拟与管理
式中：F（x，t）——随机过程的一维分布函数。
若F（x，t）为连续函数，则有：
地下水系统随机模拟与管理
式中：f（x，t）——一维分布密度函数。
如图1.15所示，当样本曲线数增加到一定数量后，mX（t）基本为一条固定曲线，而样本曲线围绕其上下波动。
设随机过程X（t）t∈T的方差用DX（t）表示，则有：
地下水系统随机模拟与管理
而σX（t）=称为随机过程的标准差。
随机过程的方差也是过程t的函数，它反映了每一个样本曲线对均值曲线mX（t）的偏离程度。
在分析实际工程问题时，随机过程的均方值具有物理意义，随机过程的均方值用ΨX（t）表示，则有：
图1.15
地下水系统随机模拟与管理
从而有：
地下水系统随机模拟与管理
随机过程的均值函数和方差函数只考虑了随机过程在任一时刻状态的数字特征，但对随机过程在不同时刻状态之间的相关关系的分析，必须有随机过程协方差函数和相关函数的概念。
随机过程X（t）在任意两个时刻t1，t2∈T，X（t1）和X（t2）是两个随机变量，它们之间线性联系的密切程度可用相关函数：
地下水系统随机模拟与管理
描绘。
X（t1）与X（t2）的协方差称为随机过程X（t）的（自）协方差函数，记为CX（t1，t2），即：
地下水系统随机模拟与管理
如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值的大小比较两个过程在时刻t1，t2状态的线性联系密切程度。如图1.16（a）和（b）所示的两个随机过程的数学期望和方差相同，但（a）过程在不同时刻的线性联系程度要小于（b）过程。
协方差函数还可以表示为：
地下水系统随机模拟与管理
相关函数可以表示为：
地下水系统随机模拟与管理
随机过程X（t）的协方差函数和相关函数的关系为：
地下水系统随机模拟与管理
图1.16
当随机过程的mX（t）=0时，
地下水系统随机模拟与管理
当t1=t2时，
地下水系统随机模拟与管理
不难看出，数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，协方差函数和方差可从它们中获得。
在众多类型的随机过程中，正态（随机）过程（高斯过程）在工程中十分常见，也十分重要和有用。
如果随机过程{X（t），t∈T}的有限维概率分布是一维或多维正态分布：即对 n≥1，任意的 t1，t2，…，tn∈T，有：
地下水系统随机模拟与管理
式中：x=（x1，x2，…，xn）T
地下水系统随机模拟与管理
则称X（t）是正态（随机）过程或Gauss过程。
1.3.3 两个随机过程的联合分布
在工程技术中，经常需要同时考虑两个或两个以上随机过程的统计特性，如对于一个地下水系统而言，大气降水的补给量P（t）是一个随机过程，对应的地下水系统响应（如泉流量或水位动态）也是一个随机过程。我们经常要研究地下水系统输入随机过程与响应（输出）随机过程之间的关系，从而涉及研究两个随机过程的情形。
设 X（t），Y（t）（t∈T）是两个随机过程，则称{（X（t），Y（t）}T，t∈T}为二维随机过程。
对于任意的m≥1，有t1，t2，…，tm∈T，t1′，t2′，…，tn′∈T，作m+n维随机矢量（X（t1），X（t2），…，X（tm））的联合分布函数：
地下水系统随机模拟与管理
称为二维随机过程（X（t），Y（t））T的m+n维（联合）分布函数。
对于随机过程X（t），Y（t），t∈T，固定t1，t2∈T，则：
地下水系统随机模拟与管理
为随机过程X（t），Y（t）的互相关函数。
2. 随机过程的定义
随机过程定义[1]
1. 设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数 与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。
2. 对于某一固定时刻 ， 为时间函数在 时 的状态，它是一个随机变量，它的样本空间为 。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数 为随机过程 。
定义1与定义2本质上是一致的，后者常用于做理论分析。
讨论
1. 若t和x都是变量，则随机过程是一组样本记录，可用全部样本记录的集合描述；
2. 若t是变量，而x是固定值，则随机过程只是一个样本记发，它可描述为一个确定的时间函数；
3. 若t是固定值，而x是变量，则随机过程是一个随机变量，它只是全部样本记录中某个固定时刻的点集合；
4. 若t和x都是固定值，则随机过程是确定值。
显然，只有（1）才反映一个随机变量的完整的随机过程，其他都只是随机过程的一个样本或样点。
随机过程分类[1]
1. 按时间和状态是否连续分为：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列；
2. 按样本函数形式分为：不确定随机过程和确定随机过程；
3. 按随机过程分布函数的特性不同分为：平稳过程、马尔克夫过程、独立增量过程等；
4. 按有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程；
5. 按有无各态历经分为：各态历经随机过程和非各态历经随机过程；
6. 按功率谱特性分为：白色过程和有色过程，宽带过程和窄带过程。
随机过程的统计特性
1. 随机过程的均值函数
计算随机过程均值的方法有两种，一是关于总体样本点的平均，简称总体平均；二是关于时间样本点的平均，简称时间平均。
究竟采用上述哪种平均法，可根据随机变量的随机过程是否为平稳随机过程加以确定。但不论是否为平稳过程，采用总体平均的方法总是通用的。
（1）
该均值对平稳随机过程来说，为物理量随机信号的平均幅值，它反映了物理量的随机信号的直流分量。
2. 随机过程的协方差函数
3. 随机过程的方差函数
对于平稳随机过程来说，它是一种定量反映物理量随机信号脉动能量大小的一个量。
4. 随机过程的相关函数
5. 随机过程协方差函数与相关函数之间的关系
6. 随机过程均值函数、方差函数之间的关系
均方值函数为方差函数与均值函数的平方之和，即对平稳随机过程来说，随机信号的总体能量为直流能量与脉动能量之和。
7. 单个样本记录的时间平均
时间平均是一种针对“各态历经”过程的随机信号统计特征的平均方法。它只需要一个样本记录 ，并从中获取随机信号的统计特征。值得一提的是，由于物理现象中大多数参变量的信号为平稳过程，并可将它们近似为各态历经的，所以工程中对于获取有关平稳过程随机信号的统计特性常采用时间平均法。
对于一个平稳随机过程来说，信号的时间平均结果应与总体平均的结果具有同样的效果。
几个重要的随机过程
1. 平稳随机过程
采用和或计算随机过程的一阶矩和二阶矩时，如果其结果不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为弱平稳过程或广义平稳过程，工程上也称之为平稳过程。
2. 强平稳过程
如果对于一个随机过程来说，除了一阶矩和二阶矩的结果外，它的无限个高阶矩和联合矩的结果都不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为强平稳过程。
3. 非平稳过程
在采用和或求取随机过程的一阶矩和二阶联合矩时，只要它们的结果中有一个随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为非平稳过程。
4. 各态历经过程
对于在可能控制的相同实验条件下所有样本记录来说，如果它们每一个样本记录都包含相同的随机现象的特征信息，则可称该随机现象的随机过程为各态历经的。显然，对“各态历经”过程的随机信号来说，无需采用总体平均这一方法获取信号的平均值，而只需取一个单个样本作时间平均即可。工程上，一般可以将一个平稳的随机过程看成是“各态历经”的。
3. 如何理解随机变量和随机过程?
4. 随机过程的介绍
《随机过程》共分7章，主要介绍了随机变量、随机过程的基本概念、随 机过程的变换、白噪声与高斯随机过程、窄带随机过程、马尔可夫过程与泊松过程等理论。
5. 随机过程的介绍
随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学、物理分支如位势论、微分方程、复变函数论、力学等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。
6. 关于随机过程,一直不理解随机过程的定义
7. 随机过程的特殊随机过程
对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。广义过程正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω，x(·,ω)∈Dx是广义函数，而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量，则称{x(φ,ω):φ∈D}为定义在(Ω，F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…，φn上的联合分布为全体这种联合分布构成了广义过程x的有穷维分布族。前两阶矩分别称为均值泛函和相关泛函。根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…，φn，有限维分布都是正态分布，则称x={x(φ,ω)}为广义正态过程。
8. 随机过程求解
答案见图片，正确记得加分哦！
最新文章
热门文章
推荐阅读